El cálculo de logaritmos puede parecer complicado, pero siguiendo algunas reglas simples, podemos simplificar y resolver la expresión (\log_8{16} + \log_8{256}) fácilmente.
Antes de resolver, recordemos dos propiedades fundamentales de los logaritmos:
Logaritmo de un Producto: [ \log_b{(xy)} = \log_b{x} + \log_b{y} ]
Cambio de Base: [ \log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}} ] donde (k) es una base cualquiera.
Empezamos descomponiendo cada logaritmo:
Primero, observamos que (16) se puede expresar en términos de base (8): [ 16 = 8^{\frac{4}{3}} \quad (\text{porque } 8 = 2^3 \text{ y } 16 = 2^4) ]
Por lo tanto: [ \log_8{16} = \log_8{(8^{\frac{4}{3}})} = \frac{4}{3} ]
Ahora, calculamos (\log_8{256}). De nuevo, expresamos (256) en términos de (8): [ 256 = 8^{\frac{8}{3}} \quad (\text{ya que } 256 = 2^8) ]
Así, tenemos: [ \log_8{256} = \log_8{(8^{\frac{8}{3}})} = \frac{8}{3} ]
Con ambos logaritmos calculados, sustituimos en la expresión original: [ \log_8{16} + \log_8{256} = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} ]
Sumando, obtenemos: [ \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4 ]
Por lo tanto, el resultado de (\log_8{16} + \log_8{256}) es: [ \boxed{4} ]
Hemos calculado satisfactoriamente la expresión (\log_8{16} + \log_8{256}) utilizando propiedades de logaritmos y manipulando exponentes. Este tipo de operaciones es fundamental en matemáticas, especialmente en álgebra y análisis, y refuerza nuestros conocimientos sobre logaritmos y sus aplicaciones.