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Cálculo del Percentil 25 Basado en la Mediana

Introducción

El análisis de percentiles es una técnica común en estadística que permite entender la distribución de un conjunto de datos. El percentil 25, conocido como el primer cuartil, indica el valor por debajo del cual se encuentra el 25% de los datos. A continuación, calcularemos el percentil 25 para el conjunto de datos proporcionado: 72, 85, 91, 77, 65, 88.

Datos Iniciales

Los datos dados son:

• 72
• 85
• 91
• 77
• 65
• 88

Paso 1: Ordenar los Datos

Para calcular el percentil 25, primero necesitamos ordenar los datos de menor a mayor.

Datos ordenados:

1. 65
2. 72
3. 77
4. 85
5. 88
6. 91

Paso 2: Calcular la Mediana

Para encontrar el percentil 25, utilizaremos la mediana del conjunto de datos. Dado que tenemos un número par de observaciones (6), la mediana se calcula de la siguiente manera:

• Las posiciones de la mediana se encuentran en las posiciones 3 y 4 (77 y 85).

La mediana se calcula como:

[ \text{Mediana} = \frac{(77 + 85)}{2} = \frac{162}{2} = 81 ]

Por lo tanto, la mediana del conjunto de datos es 81.

Paso 3: Cálculo del Percentil 25

Una vez que tenemos la mediana, podemos calcular el percentil 25. La fórmula para encontrar el percentil k es:

[ P_k = \left( \frac{n+1}{100} \right) \times k ]

Donde:

• ( P_k ) es el percentil k,
• ( n ) es el número de observaciones,
• ( k ) es el percentil que deseamos calcular (en este caso, 25).

Cálculo del Índice

Para nuestro conjunto de datos:

• ( n = 6 )
• ( k = 25 )

Sustituyendo en la fórmula:

[ P_{25} = \left( \frac{6+1}{100} \right) \times 25 = \left( \frac{7}{100} \right) \times 25 = 1.75 ]

Dado que el resultado es 1.75, necesitamos interpretar este resultado para localizar el percentil 25.

Paso 4: Interpretación del Índice

El índice 1.75 indica que el percentil 25 se encuentra en una posición entre el primer y segundo valor ordenado (65 y 72). Para calcular el valor preciso del percentil 25, se aplica la interpolación:

Tomamos el primer valor (65) y el segundo valor (72):

• El primer valor tiene una posición 1.
• El segundo valor tiene una posición 2.

La fórmula de interpolación para calcular el percentil 25 es:

[ P_{25} = \text{Valor}_1 + (0.75 \times (\text{Valor}_2 - \text{Valor}_1)) ]

Donde:

• ( \text{Valor}_1 = 65 )
• ( \text{Valor}_2 = 72 )

Sustituyendo los valores:

[ P_{25} = 65 + (0.75 \times (72 - 65)) = 65 + 0.75 \times 7 = 65 + 5.25 = 70.25 ]

Conclusión

El percentil 25, basado en la mediana de los datos proporcionados, es 70.25. Este valor indica que el 25% de las observaciones son menores o iguales a 70.25.