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Quel sujet	Mathématiques
Quel sujet?	Dérivation
Durée (min)	30
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Plan de Cours : Dérivation en Mathématiques

Durée : 30 minutes

Niveau : Année 11

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Introduction à la Dérivation

La dérivation est un concept fondamental en mathématiques, notamment dans le calcul différentiel. Elle permet de déterminer comment une fonction varie par rapport à ses variables. Au cours de cette leçon, nous allons explorer les notions de base de la dérivation, ses applications pratiques, ainsi que quelques règles essentielles.

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Objectifs de la Leçon

• Comprendre ce qu'est la dérivation.
• Apprendre à calculer la dérivée d'une fonction.
• Découvrir les applications de la dérivation dans des problèmes pratiques.
• Maîtriser les règles de dérivation fondamentales.

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1. Qu'est-ce que la dérivation ?

La dérivation est le processus qui permet de calculer le taux de variation d'une fonction. Si nous avons une fonction ( f(x) ), la dérivée de cette fonction, notée ( f'(x) ) ou ( \frac{df}{dx} ), représente la pente de la tangente à la courbe de ( f ) en un point donné. Cela traduit en termes mathématiques comment ( f ) change lorsque ( x ) varie.

Exemples de Dérivation

1. Fonction Linéaire : Soit ( f(x) = 2x + 3 ). La dérivée est simplement ( f'(x) = 2 ).
2. Fonction Quadratique : Pour ( g(x) = x^2 ), la dérivée est ( g'(x) = 2x ).

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2. Les Règles de Dérivation

• Règle de la somme : Si ( f(x) ) et ( g(x) ) sont deux fonctions dérivables, alors ( (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) ).

• Règle du produit : Pour deux fonctions ( u(x) ) et ( v(x) ), la dérivée de leur produit est donnée par :
  [ (uv)' = u'v + uv' ]

• Règle du quotient : Pour ( u(x) ) et ( v(x) ), la dérivée de leur quotient est :
  [ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

• Règle de la puissance : Si ( f(x) = x^n ) pour un entier ( n ), alors
  [ f'(x) = nx^{n-1} ]

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3. Applications de la Dérivation

A. Taux de changement

La dérivation est utilisée pour calculer des taux de changement dans divers domaines, comme la physique pour mesurer la vitesse ou l'accélération.

Exemple :

Si ( d(t) = 5t^2 ) représente la distance parcourue par un objet en fonction du temps, la dérivée ( d'(t) = 10t ) donne la vitesse de l'objet.

B. Optimisation

La dérivée est également utilisée pour trouver les extrema (maximums et minimums) d'une fonction.

Exemple :

Pour déterminer si une fonction atteint un maximum ou un minimum à un certain point, nous calculons ( f'(x) = 0 ) pour identifier les points critiques.

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Conclusion

La dérivation est un outil puissant qui trouve des applications dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences. Au cours de cette leçon, nous avons vu les notions fondamentales de la dérivation, ainsi que ses principales règles et applications.

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Activité : Exercice Pratique

Formation d'équipes pour résoudre les problèmes suivants :

1. Trouver la dérivée de ( h(x) = 3x^3 - 5x + 1 ).
2. Appliquer la règle du produit pour ( f(x) = x^2 ) et ( g(x) = \sin(x) ).
3. Résoudre un problème d’application : Un rectangle a une largeur de ( x ) et une longueur de ( 2x + 3 ). Trouver les dimensions pour maximiser l'aire.

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Fin de la leçon