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| Combien de pages | 3 |
Ce corrigé présente des solutions détaillées aux exercices fournis. Chaque exercice sera abordé avec soin pour s'assurer que les concepts clés sont bien compris.
Résoudre l'équation suivante :
[ 2x + 3 = 11 ]
Pour résoudre cette équation, nous allons isoler la variable ( x ).
Soustraire 3 des deux côtés de l'équation :
[ 2x + 3 - 3 = 11 - 3 ]
Ce qui donne :
[ 2x = 8 ]
Diviser chaque côté par 2 :
[ \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} ]
Ce qui nous donne :
[ x = 4 ]
La solution de l'équation ( 2x + 3 = 11 ) est ( x = 4 ).
Calculer la dérivée de la fonction suivante :
[ f(x) = 3x^2 + 5x - 7 ]
Pour trouver la dérivée de la fonction ( f(x) ), on appliquera les règles de dérivation.
Dériver chaque terme séparément :
Pour le premier terme ( 3x^2 ) :
[ \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x ]
Pour le deuxième terme ( 5x ) :
[ \frac{d}{dx}(5x) = 5 ]
Le terme constant (-7) a une dérivée de 0.
Combiner les résultats :
[ f'(x) = 6x + 5 ]
La dérivée de la fonction ( f(x) = 3x^2 + 5x - 7 ) est ( f'(x) = 6x + 5 ).
Calculer l'intégrale suivante :
[ \int (4x^3 + 2x^2 - 5) \, dx ]
Nous allons intégrer chaque terme séparément en utilisant la règle de puissance.
Intégrer le premier terme ( 4x^3 ) :
[ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^{4}}{4} = x^4 ]
Intégrer le deuxième terme ( 2x^2 ) :
[ \int 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3}x^3 ]
Intégrer le terme constant (-5) :
[ \int -5 \, dx = -5x ]
Combiner tous les résultats :
[ \int (4x^3 + 2x^2 - 5) \, dx = x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5x + C ]
L'intégrale de ( 4x^3 + 2x^2 - 5 ) est :
[ x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5x + C ]
Résoudre le système d'équations suivant :
[ \begin{cases} x + y = 10 \ 2x - y = 5 \end{cases} ]
Pour résoudre ce système, nous utiliserons la méthode de substitution.
À partir de la première équation, exprimer ( y ) en fonction de ( x ) :
[ y = 10 - x ]
Substituer ( y ) dans la deuxième équation :
[ 2x - (10 - x) = 5 ]
Ce qui donne :
[ 2x - 10 + x = 5 ]
En simplifiant :
[ 3x - 10 = 5 ]
Ajouter 10 aux deux côtés :
[ 3x = 15 ]
Diviser par 3 :
[ x = 5 ]
Remplacer ( x ) dans ( y = 10 - x ) :
[ y = 10 - 5 = 5 ]
La solution du système est ( x = 5 ) et ( y = 5 ).
Ce corrigé a abordé la résolution d'équations, le calcul de dérivées et d'intégrales, ainsi que la résolution de systèmes d'équations. Ces compétences sont essentielles dans l'étude des mathématiques et trouvent des applications dans de nombreux domaines scientifiques et techniques.