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Quel sujet	Mathématiques
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Durée (min)	30
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Plan de cours de Mathématiques

Durée : 30 minutes

Niveau : Collège (Étudiants adultes)

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Objectifs de la leçon

À la fin de cette leçon, les étudiants pourront :

• Comprendre et utiliser les concepts de base des équations linéaires.
• Résoudre des systèmes d’équations linéaires.
• Appliquer des méthodes graphiques pour la résolution de problèmes.

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Introduction aux Équations Linéaires (10 minutes)

Les équations linéaires sont des équations de la forme ( ax + b = c ), où ( a ), ( b ), et ( c ) sont des constantes. Ces équations décrivent des relations linéaires entre des variables.

Concepts clés :

• L'inconnue : la variable à déterminer (ici ( x )).
• Coefficients : les nombres qui multiplient l'inconnue (ici ( a )).
• Constantes : les nombres sans variable (ici ( b ) et ( c )).

Exemple simple : Résolvons l'équation ( 2x + 3 = 7 ).

Étapes de résolution :

1. Soustraire 3 des deux côtés : ( 2x = 4 )
2. Diviser par 2 : ( x = 2 )

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Résolution de Systèmes d'Équations Linéaires (15 minutes)

Un système d'équations linéaires est un ensemble de deux ou plusieurs équations. Il existe plusieurs méthodes pour résoudre ces systèmes, notamment :

Méthode de substitution

1. Résoudre une équation pour une variable.
2. Substituer cette variable dans l'autre équation.

Méthode d'élimination

1. Aligner les équations.
2. Additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable.

Exemple de système :

[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \ x - y = 2 \end{cases} ]

Méthode d'élimination : Multiplions la seconde équation par 3 : [ 3(x - y) = 3(2) \Rightarrow 3x - 3y = 6 ]

Ajustons le système : [ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \ 3x - 3y = 6 \end{cases} ]

Additionnons les équations : [ (2x + 3y) + (3x - 3y) = 6 + 6 \Rightarrow 5x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{5} ]

Ensuite, substituez ( x ) dans une des équations pour trouver ( y ).

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Application Pratique (5 minutes)

Résoudre le système suivant comme devoir : [ \begin{cases} x + 2y = 10 \ 3x - y = 5 \end{cases} ]

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Devoir (5 minutes)

Tâches :

1. Résoudre le système ci-dessus en utilisant la méthode d'élimination.
2. Préparez une brève explication de votre processus de résolution.

Réponses correctes :

Pour le système donné, les étapes de résolution devraient amener à : [ x = 4, \quad y = 3 ]

Justification :

1. À partir de la première équation, exprimez ( x ) : ( x = 10 - 2y ).
2. Substituez ( x ) dans la seconde : ( 3(10 - 2y) - y = 5 \Rightarrow 30 - 6y - y = 5 ).
3. Résolvez pour ( y ) : ( -7y = -25 \Rightarrow y = \frac{25}{7} ).
4. Revenez à la première pour trouver ( x ).

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Conclusion

Cette leçon a permis de poser les bases des équations linéaires et des systèmes d'équations. Les compétences acquises aujourd'hui seront essentielles pour des problèmes mathématiques plus complexes à l'avenir.

N'hésitez pas à poser des questions ou à demander des éclaircissements sur les concepts abordés.