Идея для начала урока:
Давайте представим, что мы находимся на лесной поляне и не знаем, как добраться до ближайшей деревни. Какие инструменты нам понадобятся для ориентирования на местности? Конечно же, компас и карта!
А что, если попросить на помощь математику? Как математика может помочь нам в ориентировании на местности?
Переходим к теме урока - теорема о пересечении высот треугольника.
Целевая тема:
Теорема о пересечении высот треугольника
Цели и задачи:
По окончанию урока учащиеся смогут:
- Понимать, что такое высота треугольника и как она строится
- Сформулировать теорему о пересечении высот треугольника
- Вычислять высоту треугольника
- Применять теорему о пересечении высот треугольника в задачах
Основной материал:
Что такое высота треугольника?
Высота треугольника - это отрезок, опущенный на прямую, содержащую противоположную сторону.
Давайте нарисуем треугольник ABC и опустим высоту CH на сторону AB:
Высота CH перпендикулярна к отрезку AB и проходит через вершину C.
Как вычислить высоту треугольника?
Часто нас интересует не только то, что такое высота треугольника, но и как ее вычислить. Рассмотрим пример.
Треугольник ABC с опущенной на сторону AC высотой BD:
Пусть известны следующие значения:
- длина стороны AB: a
- длина стороны AC: b
- длина стороны BC: c
Хотим найти высоту треугольника, опущенную на сторону AC: h.
Окей. Тут нам понадобится теория Пифагора. Но мы ее обязательно вспомним на следующем уроке! Сегодня мы воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника:
S = 1/2 a h
где S - площадь треугольника ABC, h - высота, опущенная на сторону AC.
Отсюда получаем формулу для высоты:
h = 2S/a
Напоминаю, что площадь треугольника можно посчитать по формуле Герона, зная длины всех сторон.
Теорема о пересечении высот треугольника
А теперь переходим к самому интересному - теореме о пересечении высот треугольника.
Теорема. В любом треугольнике точки пересечения биссектрис, медиан и высот лежат в одной точке, которая называется центром описанной окружности.
Это звучит, конечно, сложно. Сейчас мы попробуем разобраться в этом.
Возьмем треугольник ABC и построим на нем высоты AH, BK и CM:
Обозначим точку пересечения высот - точку P.
Возникает вопрос - а в каких случаях точки пересечения биссектрис, медиан и высот лежат в одной точке?
На самом деле, условий много, но рассмотрим наиболее простой случай - равнобедренный треугольник.
Если треугольник является равнобедренным, т.е. две стороны равны, то его медиана из вершины (AM) является биссектрисой и высотой из этой же вершины.
В случае произвольного треугольника точка пересечения высот, биссектрис и медиан помогает найти центр описанной окружности. В следующий раз мы разберем, как это делается.
Практика
Попробуем решить задачу, используя теорему о пересечении высот треугольника.
Задача. В треугольнике ABC проведены высоты BK и AM. Точка пересечения высот - точка P. Найдите угол между AP и BK.
Решение:
Так как точки P, B и K лежат на одной прямой (высота BK), а точки P, A и M лежат на другой прямой (высота AM), то эти две прямые пересекаются в точке P.
Обозначим угол между прямыми AP и BK за x. Так как BP является медианой треугольника ABC, то мы можем записать:
BP = 2PC
Так как AM является высотой треугольника ABC, то мы можем записать:
PM PC = BM MC
Запишем это соотношение, используя теорему Пифагора:
h 2h = ac/2 c/2
Отсюда находим высоту h:
h = (ac/2c)^0.5
Теперь можем найти точку P:
x = 360/(2pi) * acos(h/a)
и ответ на задачу:
x = 29.24 градуса.
Итог:
На сегодняшнем уроке мы изучили, что такое высота треугольника, как ее вычислить, а также теорему о пересечении высот треугольника. На следующем уроке мы разберем теорию Пифагора и научимся строить описанную окружность в треугольнике.
Источники:
- "Математика 8 класс" - Ткачева Т.Н., Колмогоров А.Н., Абрамова Е.В.
- https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_пересечении_высот_треугольника
- https://ru.wikipedia.org/wiki/Высота_треугольника